A(z-1)f(t)=B(z-1)vf(t-1)
(1)
(2)
及输入、输出的已知部分
(3)
式中 Pj,Qj,Rj, src=/images/t0501.gif width=19 height=20 alt=t0501.gif (148 bytes)>——为向后传递算子z-1的多项式,无物理意义
然后取如下预测广义最小方差作为性能指标函数
(4)
式中 ρ——权函数
N——输出预测前景
Nv——控制前景
(5)
式中 Δvf=[Δvf(t) Δvf(t+1)…
Δvf(t+Nv-1)]T
Fr=[Fr(t+1) Fr(t+2)…
Fr(t+Nv-1)]T
(6)
j=1,…,Nv
写成矢量形式有
LΔvf≤vf1及-LΔvf≤-vf0 (7)
式中 L——元素为1的Nv×Nv下三角矩阵
vf0=[vf0-vf(t-1)…vf0-vf(t-1)]T
vf1=[vf1-vf(t-1)…vf1-vf(t-1)]T
2.2 进给速度增量约束
令进给速度增量Δvf(t+j-1),j=1,…,Nv的上、下限为Δvf0和Δvf1,可得进给速度增量的约束条件
Δvf0≤Δvf(t+j-1)≤Δvf1 j=1,…,Nv
表示成矢量形式为
Δvf≤Δvf1及-Δvf≤-Δvf0
(8)
式中 Δvf0=[Δvf0,…,Δvf0]T
Δvf1=[Δvf1,…,Δvf1]T
2.3 瞬时铣削力上升时间约束
(9)
式中 Rd——表示由矩阵R的kd到N行构成的(N-kd+1)×Nv子阵
(10)
式中 Rv——表示由矩阵R的ku到N行构成的(N-ku+1)×Nv子阵
2.4 瞬时铣削力超调
(11)
同理,若当前铣削力大于设定值,则相应约束条件应该写为
(12)
(13)
DΔvf≤c (14)
式中 H=RTR+ρI
D=[L-L I-I(Rd,-Ru)T(-R,R)T]T
D——k×Nv矩阵
c——k维矢量
k=2(N+Nv)-(kd,ku)+1
当F(t)>Fr时,(,)内的值取前项,否则取后项。
3.2 解析算法
由式(13)知,性能指标函数一般为优化空间(ΔvT,J)∈RNv+1中的超曲面。注意到控制前景为Nv=2,故求解QP问题可在三维空间中进行。此时因Δv的分量为Δvf(t)和Δvf(t+1),故由式(14)知第i个约束条件可表示为
d1iΔv(t)+d2iΔv(t+1)≤ci (15)
在实际控制问题中,因Δvf(t)和Δvf(t+1)仅在由二者张成平面的第Ⅰ象限(F(t)
定义:若约束条件与坐标轴构成闭域或与坐标轴构成一带状区域,则称为第一类约束条件;否则称为第二类约束条件。
当性能指标函数的无约束极小值点在可行域内时,任一平行于J轴的平面Γ的方程为
γ′0+γ′1Δvf(t)+γ′2Δvf(t+1)=0
故有
因此
src=/images/g0520.gif width=302 height=69 alt=g0520.gif (2051 bytes)>
显然,性能指标函数与Γ的交线满足如下抛物线方程
注意到,故进给速度的解析解答为
若性能指标函数的无约束极小值点在可行域之外,注意到平面Γ通过无约束极小值点(线)并与可行域相交,且平面Γ与性能指标函数J的交线JΓ在极小点任一侧是单调上升的,故有约束极小点必为Γ与可行域边界的交点。据此,可经求交运算和比较交点坐标获得约束条件边界,然后在约束边界上用解析法求得进给速度的解析解答。
计算机仿真表明,与无约束控制策略相比,闭环系统的性能可得到显著改善,且算法可满足实时控制要求。
刀具:直径24 mm三齿高速钢螺旋棒铣刀,螺旋角30°。
工件:Q235优质碳素钢(几何尺寸见图4)。
切削条件:主轴转速300 r/min,径向切深4 mm,轴向切深分别为15 mm、20 mm、25 mm和30 mm四挡,切削长度分别为50 mm、40 mm、30 mm和20 mm四挡,逆铣,油冷。
控制器参数设定:铣削力设定值400 N,CNC编程速度40 mm/min,进给倍率最小值和最大值按数控系统原值设定,分别为0和120%,每挡间距为4%。控制指令取整使用舍去小数点方法,以保证稳态铣削力小于设定值。控制器预选参数取值为Nv=2、N=5和ρ=80,控制效果如图5。
广义预测控制因计入被控系统输入、输出前景的影响,故稳定性和输出性能优良,且算法结构适合包含约束条件。
针对数控铣削过程的特点提出的四种约束条件可显著改善被控系统的输出性能。
所提出的有约束广义预测控制律解析算法可满足数控铣削恒力控制的实时性要求。
文章来源:中国刀具信息网 添加人:阿刀